*** Approximation du nombre d'or - Grand Oral

On considère la suite \((u_n)\)  définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n,\) par \(u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\) . On admet que les termes de la suite sont tous définis et positifs.

1. a. Montrer que la suite \((u_n)\)  est croissante et majorée par 3.
    b. Montrer que la suite \((u_n)\)  converge vers un réel \(\ell\) .

2. a. Résoudre dans \(\mathbb{R}\)  l'équation \(x^2=x+1\) .
    b. On admet que \(\ell\)  est solution de l'équation \((E):x=\sqrt{1+x}\) .  Déterminer la valeur de \(\ell\) .

Cette valeur limite est appelée nombre d'or et notée \(\Phi\) .

3. Une propriété géométrique de  \(\Phi\)
On considère un rectangle \(\text{ABCD}\)  de longueur \(L\)  et de largeur \(l\)  de format \(\displaystyle\frac{L}{l}=\Phi\) . On construit dans ce rectangle le carré \(\text{EBCF}\)  de côté \(l\) .

Montrer que le rectangle \(\text{AEFD}\)  est aussi de format \(\Phi\) .